容斥問題涉及到的相關(guān)知識是我們初高中學(xué)習(xí)的集合的概念,對于容斥問題的考查主要涉及到兩者容斥、三者容斥以及容斥極值問題。事業(yè)單位的考試中曾經(jīng)多次考查,故而,對于容斥問題,大家一定要認真學(xué)習(xí),學(xué)習(xí)兩者容斥的相關(guān)公式、三者容斥的相關(guān)公式以及容斥極值的相關(guān)公式。今天就帶領(lǐng)大家一起來學(xué)習(xí)容斥極值的相關(guān)內(nèi)容。
一、容斥極值的題型特征
1、 給出全集
2、 給出各個部分(也即各個集合)
3、 關(guān)注提問:一般求多集合相交的最小值
二、容斥極值的公式
多集合相交的最小值=所有集合的數(shù)據(jù)和-(集合個數(shù)-1)*全集
比如,兩集合相交最小值=A+B-I
三集合相交最小值=A+B+C-2*I
四集合相交最小值=A+B+C+D-3*I
其中,A、B、C、D表示集合,I表示全集
三、例題精講
例1、某中學(xué)在高考前夕進行了4次數(shù)學(xué)摸底考試,成績一次比一次好;第一次得80分以上的比例是70%;第二次得80分以上的比例是75%;第三次是85%;第四次是90%;請問在四次考試中都得80分以上的學(xué)生的百分比至少是多少?
A 40% B 30% C 20% D 10%
【答案】C
【解析】根據(jù)常識可以判斷全集為100%;將每次考試看成是一個集合的話,第一次考試80分以上是A集合;第二次考試80分以上是B集合;第三次80分以上是C集合;第四次80分以上是D集合,那么這道題目求的就是四集合相交的最小值,直接用四集合相交的公式就可以。
四集合相交最小值=A+B+C+D-3*I=70%+75%+85%+90%-3*100%=20%
例2、某班30人,數(shù)學(xué)22人優(yōu)秀,語文25人優(yōu)秀,英語20人優(yōu)秀,這三科全部優(yōu)秀的學(xué)生至少有多少人?
A 7 B 6 C 5 D 4
【答案】A
【解析】根據(jù)題意可得全集為30;將數(shù)學(xué)、語文以及英語分別看成是A、B、C三個集合,每個集合的數(shù)據(jù)也已知;最后題目求三科全部優(yōu)秀的學(xué)生至少有多少人,即求三個集合相交的最小值,直接用三集合相交的最小值。
三集合相交的最小值=A+B+C-2*I=22+25+20-2*30=7
對于容斥極值問題,大家首先要根據(jù)題型特征能夠判斷出此題是容斥極值問題;其次是記住容斥極值問題的公式,然后利用公式進行求解;最終確定是最終的答案。只要做到這兩步,最終必定能夠成功破解容斥極值問題,得出最終的答案。