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專業(yè)代碼：070101、070102、070103、070104

專業(yè)名稱：基礎數(shù)學、計算數(shù)學、概率論與數(shù)理統(tǒng)計 、應用數(shù)學

考試科目代碼： 611

考試科目名稱：數(shù)學分析

本《數(shù)學分析》考試大綱適應于中國礦業(yè)大學（北京）理學院數(shù)學各專業(yè)碩士研究生入學考試?！稊?shù)學分析》不僅是大學本科階段數(shù)學各專業(yè)重要的基礎課程，而且也是數(shù)學各專業(yè)研究生階段許多課程的基礎。這些課程從本質上來說是數(shù)學分析延伸、深化或應用，數(shù)學分析的基本概念、思想與方法，更是無處不在的?？忌仨氄嬲龑W好該門課的知識，為學習其他專業(yè)課程打下堅實的基礎。

（一）考試的總體要求

要求考生比較系統(tǒng)的理解數(shù)學分析的基本概念和基本理論，掌握研究分析領域的基本方法，基本上掌握數(shù)學分析的思想和論證方法。要求考生具有抽象思維能力、邏輯推理能力、具備較熟練的演算技能和初步的應用能力以及綜合運用所學知識分析問題和解決問題的能力。

(二) 考試內容

試題以華東師范大學數(shù)學系編著《數(shù)學分析》上下冊（第三版，高等教育出版社出版，2006年5月）為藍本，內容涵蓋該教材的第一至二十二章（教材中打*號不作要求）。內容涉及分析基礎、一元函數(shù)微積分、一元積分學、級數(shù)、多元微分學、多元積分學理論，兼顧實數(shù)完備性理論方面的內容。試題重點考查的內容：

一、分析基礎

1. 實數(shù)概念、確界

2. 函數(shù)概念

3. 序列極限與函數(shù)極限

4. 無窮大與無窮小

5. 連續(xù)概念與基本性質，一致連續(xù)性

6. 實數(shù)完備性定理

二、一元微分學

1．導數(shù)概念與幾何意義

2．求導公式求導法則

3．高階導數(shù)

4．微分

5．微分中值定理

6．L’Hospital法則

7．Taylor公式

8．應用導數(shù)研究函數(shù)

三、一元積分學

1．不定積分法與可積函數(shù)類

2．定積分的概念、性質與計算

3．定積分的應用

4．反常積分

四、級數(shù)

1．數(shù)項級數(shù)的斂散判別與性質

2．函數(shù)項級數(shù)與一致收斂性

3．冪級數(shù)

4．Fourier級數(shù)

五、多元微分學

1、歐式空間

2、多元函數(shù)的極限

3、多元連續(xù)函數(shù)

4、偏導數(shù)與微分

5、隱函數(shù)定理

6、Taylor公式

7、多元微分學的幾何應用

8、多元函數(shù)的極限

六、多元積分學

1、重積分的概念與性質

2、重積分的計算

3、二重、三重積分

4、含參變量的正常積分和反常積分

5、曲面積分與Green公式

6、曲面積分

7、Gauss公式、Stokes公式、線積分與路徑無關

(三)、考試要求

一、分析基礎

1、了解實數(shù)的基本性質，理解有界、無界及上下確界的意義。掌握絕對值不等式及平均值不等式。

2、熟練掌握函數(shù)概念（如定義域、值域、反函數(shù)等）。

3、掌握序列極限的意義、數(shù)學語言的陳述及性質（特別，單調序列的極限存在性定理）和運算法則，熟練掌握求序列極限的 方法。

4、掌握函數(shù)極限的意義、數(shù)學語言的陳述及性質和運算法則（自變量趨于有限數(shù)和趨于無限兩種情形），熟練掌握求函數(shù)極限的 方法，了解廣義極限和單側極限的意義。

5、熟練掌握求序列極限和函數(shù)極限的常用方法（如初等變形、變量代換、兩邊夾法則等），掌握由遞推公式給出的序列求極限的基本技巧。

6、理解無窮大量與無窮小量，同階和高（低）階無窮大（?。┝康囊饬x，特別是等價無窮小量的意義。

7、熟練掌握函數(shù)在一點及在一個區(qū)域上連續(xù)的概念、理解函數(shù)兩類間斷點的意義，掌握初等函數(shù)的連續(xù)性，理解介值定理，一致連續(xù)和不一致連續(xù)的概念。

8、掌握序列收斂的充分必要條件及函數(shù)極限（當自變量趨于有限數(shù)及區(qū)域無窮兩種情形）存在的充分必要條件。

9、掌握涉及實數(shù)完備性定理的敘述以及相互之間的證明、有界閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)的性質。

二、一元微分學

1、掌握導數(shù)的概念和幾何意義，了解單側導數(shù)的意義，依據定義求函數(shù)在給定點的導數(shù)。

2、應用求導公式和法則熟練計算函數(shù)導數(shù)（包括用參數(shù)式給出時的導數(shù)）、隱函數(shù)的導數(shù)以及函數(shù)的高階導數(shù)。

3、理解函數(shù)微分的概念和函數(shù)可微的充分必要條件，了解一階微分的不變性，能運用微分做近似計算。

4、理解并掌握微分中值定理（Rolle定理，Lagrange定理和Cauchy中值定理），并能應用它們解決函數(shù)零點存在及不等式證明等問題。

5、熟練掌握應用L’Hospital法則求函數(shù)極限的方法。

6、理解Taylor公式（Lagrange余項和Peano余項）的意義，并熟記五個基本公式( )，能將給定函數(shù)在指定 點展成Taylor級數(shù)，掌握應用Taylor公式解決不等式證明、求函數(shù)極限等問題的基本技巧。

7、熟練掌握應用導數(shù)判斷函數(shù)升降、凹凸性以及畫出函數(shù)圖像的方法，以及求一元函數(shù)極值和最值的方法。

三、一元積分學

1、理解不定積分的概念和基本性質，熟記基本積分表，理解并掌握換元法和分部積分法的意義和方法，了解并應用它們熟練計算不復雜的不定積分。

2、靈活運用積分方法求不定積分，熟練掌握有理函數(shù)、三角函數(shù)有理式及簡單的簡單的根式的有理式的積分方法。

3、理解定積分的概念，掌握定積分的基本性質及函數(shù)在有限區(qū)間上可積的充分必要條件，熟練掌握定積分的計算方法，了解變限定積分的性質，掌握積分中值定理。

4、熟練應用定積分計算平面曲線的弧長、平面圖形的面積、立體體積、旋轉曲面表面積，并應用于求均勻平面圖形重心坐標等簡單物理、力學問題。

5理解反常積分及收斂、絕對收斂和發(fā)散的意義，掌握反常積分的收斂的判別法則。

四、級數(shù)

1、掌握數(shù)項級數(shù)收斂、發(fā)散和絕對收斂的概念、級數(shù)收斂的充分必要條件，收斂和絕對收斂的性質以及級數(shù)加法和乘法的運算法則。

2、熟練掌握正項級數(shù)斂散判別法（比如判別法、D’Alembert判別法、Cauchy根式判別法以及Cauchy積分判別法），掌握一般項級數(shù)斂散判別法。能計算一些特殊數(shù)項級數(shù)的和。

3、理解函數(shù)項級數(shù)收斂的意義并能夠確定其收斂域。理解函數(shù)序列收斂以及函數(shù)項級數(shù)一致收斂的意義，掌握函數(shù)項級數(shù)一致收斂判別法則。

4、理解冪級數(shù)的概念并能夠確定其收斂半徑，掌握冪級數(shù)的基本性質和運算法則，熟記五個基本冪級數(shù)展開式( )，能夠求出給定函數(shù)在制定點的冪級數(shù)展開式及應用冪級數(shù)運算求一些級數(shù)的和。

5、理解函數(shù)Fourier展開式的意義，掌握Fourier展開式的基本方法。了解Fourier級數(shù)的收斂性定理。逐項積分和逐項求導定理以及Parseval等式，并能應用Fourier級數(shù)求某些級數(shù)的和（如 ）。

五、多元微分學

1、理解歐式空間中的概念及歐式空間的內積與模、開集、開區(qū)域與閉區(qū)域的意義，了解完備性定理及緊性定理。

2、理解多元函數(shù)的概念，掌握多元函數(shù)的重極限、累次極限和特殊路徑極限的意義，并能夠根據定義計算多元函數(shù)極限，或證明二元極限不存在，能計算多元函數(shù)的重極限和累次極限。

3、理解多元連續(xù)函數(shù)的概念及其性質。并能夠判斷多元函數(shù)的連續(xù)性，了解多元函數(shù)的一致連續(xù)性。

4、理解偏導數(shù)的概念，掌握其計算法則，能夠熟練計算多元函數(shù)的偏導數(shù)和復合函數(shù)的導函數(shù)，能計算給定函數(shù)在給定方向上的導函數(shù)。

5、理解多元函數(shù)的微分的概念，并能夠判斷函數(shù)的可微性。

6、理解隱函數(shù)存在定理和反函數(shù)存在定理，熟練掌握隱函數(shù)的微分法。

7、理解Taylor公式的意義，并能夠求出二元函數(shù)的具有指定階數(shù)的Taylor公式。

8、能應用偏導數(shù)求空間的切線、法平面及空間曲面的法線和切平面的方程。

9、理解多元函數(shù)的極限和最值的意義，極值的充分必要條件，掌握求多元函數(shù)極值、條件極值及在閉區(qū)域上的最值的方法，并用于解決實際問題。

六、多元積分學

1、理解重積分的概念、可積的充分必要條件及重積分的性質。

2、掌握二重積分和三重積分化累次積分的方法以及二重、三重積分的變量代換方法，平面極坐標變換，空間柱坐標變化和球坐標變化），能熟練計算二重和三重積分，并用于計算平面圖形的面積、柱體體積、曲面面積及曲面所圍成的立體體積。

3、了解含參變量正常積分的基本性質（連續(xù)性，積分號下取極限，求導和求積分），了解含參變量的反常積分一致收斂判別法，會計算 和 函數(shù)。

4、理解第一型和第二型曲線積分的意義、性質，能熟練計算曲線積分。

5、理解并掌握Green公式的意義，并能應用它計算曲線積分。

6、理解第一型和第二型曲面積分的意義、性質，能熟練計算曲線積分。

7、理解并掌握Gauss公式和stolz公式的意義，能夠用于曲面積分或曲線積分的計算，了解空間曲線積分與路徑無關的充分必要條件極其對曲線積分計算的應用。

（四）、考試基本題型

基本題型可能有：填空題（選擇題）、計算題、證明題及綜合題等。

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