高等代數(shù)考試大綱

Ⅰ 考查目標

高等代數(shù)課程是一門基礎理論課.近年來，由于自然科學，社會科學和工程技術的迅速發(fā)展，特別是由于電子計算機的普遍應用，使得代數(shù)學得到日益廣泛的應用.這就要求數(shù)學專業(yè)的本科學生不僅了解代數(shù)學的一些計算問題，還應具備代數(shù)學的基礎理論知識，以便融會貫通的運用代數(shù)學的工具去解決理論上和實踐上遇到的各種問題.

本課程包括一元多項式理論，線性代數(shù)，其中以線性代數(shù)為主，具有很強的抽象性與邏輯性.本課程的考查注重學生科學的思維方式，分析問題和解決問題的能力;同時滲透現(xiàn)代數(shù)學的觀點和的思想.通過本課程的考查，能體現(xiàn)“學生掌握多項式理論的基本概念，線性方程組的基本理論，矩陣的基本運算和技巧，線性空間與歐幾里得空間的基本性質，線性變換的基本概念和方法”的基本情況.考查學生的抽象思維能力，解決實際問題的方法，從而為學生的研究生階段的學習打下必要的代數(shù)學基礎.

難度以應屆本科優(yōu)秀學生能取得及格以上成績?yōu)榛鶞?

Ⅱ　考試形式和試卷結構

1填空題約占30%

2計算題約占40%

3證明題約占30%.可以根據(jù)需要將證明題分為基本證明題和綜合證明題兩大部分.

4、試卷總分150分.

Ⅲ　考查范圍

第一部分 多項式

一 多項式代數(shù)與多項式函數(shù)

二 最大公因式和互質(與數(shù)域擴充無關的性質)

三 因式分解(與數(shù)域擴充有關的性質)及應用

第二部分 行列式

一 行列式的定義、性質及應用

二 行列式的計算

第三部分 矩陣初步

一 矩陣代數(shù)

二 矩陣的初等變換及應用

三 方塊矩陣的初等變換及應用

第四部分 線性空間

一 線性空間的定義

二 向量的線性關系

三 子空間與空間直和分解

第五部分 線性變換

一 線性映射

二 線性變換

三 同構對應及應用

第六部分 線性方程組

一 齊次線性方程組解的存在性、唯一性與表示

二 非齊次線性方程組解的存在性、唯一性與表示

三 線性方程組的反問題和矩陣方程

第七部分 矩陣的秩

一 矩陣的秩的等價刻劃

二 關于矩陣秩的命題及應用

第八部分 線性空間同構

一 線性空間的同構

二 三種重要的同構

三 命題的互相轉化及應用

第九部分 特征值與特征向量

一 矩陣的特征值與特征向量 特征多項式 最小多項式

二 線性變換的特征值與特征向量 特征多項式 最小多項式

三 可對角化的矩陣(線性變換)

第十部分 空間分解定理和Jordan標準形

一 空間分解定理

二 Jordan標準形

三 Jordan標準形的求法

四 Jordan標準形應用舉例

第十一部分 歐氏空間

一 歐氏空間的正交向量

二 歐氏空間的子空間的正交補

三 n維歐氏空間的線性變換

第十二部分 二次型

一 二次型(對稱陣)的標準形

二 正定二次型(對稱陣)與二次型(對稱陣)的正定性

第十三部分 等價關系與矩陣標準型

一 等價關系與分類

二 矩陣中的幾種等價關系與矩陣標準型

Ⅳ 參考書

(1)張禾瑞、郝炳新編.高等代數(shù)(第五版).高等教育出版社，2008年.

(2)北京大學數(shù)學系編. 高等代數(shù)(第3版).高等教育出版社，1988年.

(3)邱維聲編.高等代數(shù).高等教育出版社，2002年.